Fast Fourier Transform module - wrapper for FFTPACK
 
The following functions are defined
 
  
  fft(v)      - return the complex FFT of v
  fft_inv(v)  - return the complex inverse FFT of
  
  rfft(v)     - return the real FFT of v
  rfft_inv(v) - return the real inverse FFT of v
  
These functions call methods of the following objects default_fft
and default_rfft, which are instances of FFT_CLASS and RFFT_CLASS
classes, respectively. Initialization for a particular length fft is
performed when a different size sequence v is supplied. If taking FFTs
of sequences with differing sizes, instantiate separate FFT_CLASS
objects for each size. The transforms are not normalized. To obtain a
normalized transform the output must be divided by len(v).
 
The algorithms used are:
 
N=len(v)
 
--> forward complex transform 
 
      for j=0,...,N-1
 
             c[j]=the sum from k=0,...,N-1 of
 
                   v[k]*exp(-i*j*k*2*pi/N)
 
                         where i=sqrt(-1)
 
--> inverse complex transform 
 
      for j=0,...,N-1
 
             c[j]=the sum from k=0,...,N-1 of
 
                   v[k]*exp(i*j*k*2*pi/N)
 
                         where i=sqrt(-1)
 
--> forward real transform 
 
      r[0] = the sum from n=0 to n=N-1 of v[n]
 
          if N is even set L = N/2-1   , if N is odd set L = (N-1)/2
 
            then for m = 1,...,L
 
               r[2*m-1] = the sum from n = 0 to n = N-1 of
 
                    v[n]*cos(m*n*2*pi/N)
 
               r[2*m] = the sum from n = 1 to n = N-1 of
 
                   -v[n]*sin(m*n*2*pi/N)
 
          if N is even
 
               r[N-1] = the sum from n = 0 to n = N-1 of
 
                    (-1)**(n)*v[n]
 
 
--> inverse real transform 
 
         for N even and for n = 0,...,N-1
 
               r[n] = v[0]+(-1)**(N-1)*v[N-1]
 
                    plus the sum from m=1 to m=N/2-1 of
 
                     2.*v[2*m-1]*cos(m*n*2*pi/N)
 
                    -2.*v[2*m  ]*sin(m*n*2*pi/N)
 
          for N odd and for n = 0,...,N-1
 
               r[n] = v[0] plus the sum from m=1 to m=(N-1)/2 of
 
                    2.*v[2*m-1]*cos(m*n*2*pi/N)
 
                   -2.*v[2*m  ]*sin(m*n*2*pi/N)
 
 
 
 
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